数学三十六计

第35计 符号开门 来意弄懂
●计名释义
数学老师讲“数学语言”,他在黑板上写了这样一句话，其中没有一个汉字：
3x+2y+z=100
问学生：“这句话的意思是什么？”
学生甲说：这是一个故事，马驮粮食的故事：一匹大马驮3袋粮食，中马驮2袋，小马驮1袋，一共驮走了100袋粮食.
学生乙说：这是一个方程，三元一次方程，3个未知数x,y,z.这是个不定方程.
学生丙说：这是一个问题：第1个数乘3，第2个数乘2，第3个数乘1，其和为100.问这3个数各为多少？
老师很高兴：这种用来表示数学语言的“数学文字”，通常称作数学符号.这里的3，2，1，100，+，=等数学文字都是数学符号.其实，这三个学生对“这句话”的理解是有区别的：甲说的是情境，乙说的是形式，丙说的才是数学本意.单从句式上看，方程不是一个陈述句，也不是感叹句，而是疑问句.
●典例示范
【例1】 计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表:
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B= ( )
A.6E B.72 C.5F D.B0
【分析】 本题破门首先是弄懂数学符号A，B,C，D，E，F的意思.依题意，他们是16位进制数中后6个数字.说它们是第10，11，12，…，15等数字时，则请注意，这是在借用10进制说话.这里11到15，在10进制中都是十位数，而A到F，在16位进制中都是个位数.
对于E+D=1B，有人写成E+D=14+13=27=1B.这就混淆了数学符号在两种进制中的意义.这里14，13，1B中的1的意思相同吗？
【解答】 我们用符号［x］(10),［y］(16)分别表示10进制和16进制中的数，依题意，就是［16］(10)=［10］(16) .则有A×B=［10×11］(10) =［110］(10) =［6×16+14］(10) =
［610+E］(16)=6E.
答案为A.
【插语】 这里，解题人的特殊数学语言（10进制数和16进制数）用特别符号（［x］(10)和［y］(16))来与读者“约定”，使表达式形式准确而简明.
【点评】 高考数学新题型中，往往有新的数学符号出现.由于有新符号,所以一定有对新符号的介绍.这时我们的任务是:把新的“符号语言”和我们已经掌握了的“普通语言”完成互译：（1）把“新符号”译成“普通话”；（2）把迁移后（解答后）的“普通话”译成“新符号”.
【例2】 对于任意的两个实数对(a1，b1)和(a2，b2), 规定：（a1，b1)=（a2，b2)，当且仅当a1=a2，b1=b2，运算“ ”为：（a1，b1) (a2，b2)=(a1a2-b1b2，b1a2+a1b2)；运算“ ”为：（a1，b1) (a2，b2)=(a1+a2，b1+b2). 设p,q∈R，若（1，2） （p,q)=(5,0)，则
(1,2) (p,q)= ( )
A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-4)
【分析】 本题破门首先是弄清符号所表示的运算意义：（1）运算对象是有序数对（a,b),运算结果也是有序数对（a,b)；（2）运算法则则是(翻译）化为普通运算法则进行：
a3=a1a2-b1b2，b3=b1a2+a1b2，同样对符号 进行类似的分析.于是我们得到如下的解法.
【解答】 B 由（1，2） (p,q)=(5，0)得 ，所以（1，2） (p,q)=(1,2) (1,-2)=(2,0)，故选B.
【插语】 这里的运算 、 的一种具体形式是复数代数式加法运算和乘法运算. 即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.
由此可以看到，命题人在设计新题型时在如何“推陈出新”. 这里的运算法则 、 设计实际上是把一种具体的（复数）运算法推广到了（有序数对）“一般化”运算.
●对应训练
1.设是R上的一个运算，A是R的非空子集.若对任意a、b∈A,有a b∈A，则称A对运算封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭
的是 （ ）
A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集
2.定义集合运算：A⊙B =｛z︳z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为 ( )
A.0 B.6 C.12 D.18
3.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文（解密）,已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d. 例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为 ( )
A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7
●参考答案
1.【分析】 这里“封闭”的定义，是说集合A中的任意两个数经过 运算的结果，仍然是集合A中的元素，则称A对运算 是封闭的.
【解答】 A中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B中1÷ 2＝0.5不是整数，即整数集不满足条件；C中有理数集满足条件；D中 × =2不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C.
【点评】 本题中的运算有四个，即加法、减法、乘法和除法（除数不为0），要想这四则运算都封闭，必须经四则运算后的结果，还是所给的数集中的一员.由于是单项选择题，这就需举出反例来说明它的不封闭性.
2.【分析】 集合运算A⊙B实际上两个集合中元素的积乘以两个集合中元素的和. 所给集合A中有一个元素0，这使问题简化了，因为0乘以任何数其结果为0.
【解答】 D 当x＝0时，z＝0，当x＝1，y＝2时，z＝6，当x＝1，y＝3时，z＝12，故所有元素之和为18，选D.
【点评】 所给集合就是两个元素，我们可以一一把它们的结果列举出来，因为有0的存在，使得我们的计算大大地省下了一笔.这也是命题人给考生的照顾吧！
3.【解答】 C 依题意，建立方程组
解得d=7，c=1，b=4，a=6，选C.
【评说】 由信息的传递迁移到数学中的方程组，这是通过一些数字迁移到另外一些数字上去，可见数学的神密所在.