高考数学复习

2008年高考数学第一轮复习知识点分类指导
一、集合与简易逻辑
1.集合元素具有确定性、无序性和互异性.
（1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q= ，若 ， ，则P+Q中元素的有________个。（答：8）
（2）非空集合 ，且满足“若 ，则 ”，这样的 共有_____个（答：7）
2. “极端”情况否忘记 ：集合 ， ，且 ，则实数 ＝______.（答： ）
3.满足 集合M有______个。　（答：7）
4.运算性质：设全集 ，若 ， ， ，则A＝_____，B＝___.（答： ， ）
5.集合的代表元素：（1）设集合 ，集合N＝ ，则 ___（答： ）；（2）设集合 ， ， ，则 _____（答： ）　
6.补集思想：已知函数 在区间 上至少存在一个实数 ，使 ，求实数 的取值范围。　（答： ）
7.复合命题真假的判断：在下列说法中：⑴“ 且 ”为真是“ 或 ”为真的充分不必要条件；⑵“ 且 ”为假是“ 或 ”为真的充分不必要条件；⑶“ 或 ”为真是“非 ”为假的必要不充分条件；⑷“非 ”为真是“ 且 ”为假的必要不充分条件。其中正确的是____答：⑴⑶）
8.充要条件：（1）给出下列命题：①实数 是直线 与 平行的充要条件；②若 是 成立的充要条件；③已知 ，“若 ，则 或 ”的逆否命题是“若 或 则 ”；④“若 和 都是偶数，则 是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_______（答：①④）；
（2）设命题p： ；命题q: 。若┐p是┐q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是 （答： ）
9. 一元一次不等式的解法：已知关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为_______（答： ）
10. 一元二次不等式的解集：解关于 的不等式： 。
（答：当 时， ；当 时， 或 ；当 时， ；当 时， ；当 时， ）
11. 对于方程 有实数解的问题。（1） 对一切 恒成立，则 的取值范围是_______（答： ）；（2）若在 内有两个不等的实根满足等式 ，则实数 的范围是_______.（答： ）
12.一元二次方程根的分布理论。
（1）实系数方程 的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则 的取值范围是_________（答：（ ，1））
（2）不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是____（答： ）。
二、函 数
1.映射 : A B的概念。
（1）设 是集合 到 的映射，下列说法正确的是　A、 中每一个元素在 中必有象 B、 中每一个元素在 中必有原象　　C、 中每一个元素在 中的原象是唯一的 　D、 是 中所在元素的象的集合（答：A）；（2）点 在映射 的作用下的象是 ，则在 作用下点 的原象为点________（答：（2，－1））；（3）若 ， ， ，则 到 的映射有 个， 到 的映射有 个， 到 的函数有 个（答：81,64,81）；（4）设集合 ，映射 满足条件“对任意的 ， 是奇数”，这样的映射 有____个（答：12）
2.函数 : A B是特殊的映射。若函数 的定义域、值域都是闭区间 ，则 ＝ （答：2）
3.若解析式相同，值域相同，但其定义域不同的函数，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为 ，值域为{4，1}的“天一函数”共有__个（答：9）
4.研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：
（1）函数 的定义域是____(答： )；（2）设函数 ，①若 的定义域是R，求实数 的取值范围；②若 的值域是R，求实数 的取值范围（答：① ；② ）
（2）复合函数的定义域：（1）若函数 的定义域为 ，则 的定义域为__________（答： ）；（2）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为________（答：[1,5]）．
5.求函数值域（最值）的方法：
（1）配方法―（1）当 时，函数 在 时取得最大值，则 的取值范围是___（答： ）；
（2）换元法（1） 的值域为_____（答： ）；（2） 的值域为_____（答： ）（令 ， 。运用换元法时，要特别要注意新元 的范围）；3） 的值域为____（答： ）；（4） 的值域为____（答： ）；
（3）函数有界性法―求函数 ， ， 的值域（答： 、（0,1）、 ）；
（4）单调性法――求 ， 的值域为______（答： 、 ）；
（5）数形结合法――已知点 在圆 上，求 及 的取值范围（答： 、 ）；
（6）不等式法―设 成等差数列， 成等比数列，则 的取值范围是____________.（答： ）。
（7）导数法―求函数 ， 的最小值。（答：－48）
6.分段函数的概念。（1）设函数 ，则使得 的自变量 的取值范围是____（答： ）；（2）已知 ，则不等式 的解集是___（答： ）
7.求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法―已知 为二次函数，且 ，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2 ,求 的解析式 。（答： ）
（2）配凑法―（1）已知 求 的解析式___（答： ）；（2）若 ，则函数 =___（答： ）；
（3）方程的思想―已知 ，求 的解析式（答： ）；
8. 反函数：
（1）函数 在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是
A、 　B、 　　C、 　　D、 　（答：D）
（2）设 .求 的反函数 （答： ）．
（3）反函数的性质：
①单调递增函数 满足条件 = x ，其中 ≠ 0 ，若 的反函数 的定义域为 ，则 的定义域是____________（答：[4,7]）.
②已知函数 ，若函数 与 的图象关于直线 对称，求 的值（答： ）；
③（1）已知函数 ，则方程 的解 ______（答：1）；
④已知 是 上的增函数，点 在它的图象上， 是它的反函数，那么不等式 的解集为________（答：（2,8））；
9.函数的奇偶性。
（1）①定义法：判断函数 的奇偶性____（答：奇函数）。
②等价形式：判断 的奇偶性___.（答：偶函数）
③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 轴对称。
（2）函数奇偶性的性质：若 为偶函数，则 .
若定义在R上的偶函数 在 上是减函数，且 =2，则不等式 的解集为______.（答： ）
④ 若 为奇函数，则实数 ＝____（答：1）.
⑤设 是定义域为R的任一函数， ， 。①判断 与 的奇偶性； ②若将函数 ，表示成一个奇函数 和一个偶函数 之和，则 ＝____（答：① 为偶函数， 为奇函数；② ＝ ）
10.函数的单调性。
（1）若 在区间 内为增函数，则 ，已知函数 在区间 上是增函数，则 的取值范围是____(答： ）)；
（2）若函数 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数 的取值范围是______(答： ）)；
（3）已知函数 在区间 上为增函数，则实数 的取值范围_____（答： ）；
（4）函数 的单调递增区间是________(答：（1,2）)。
（5）已知奇函数 是定义在 上的减函数,若 ，求实数 的取值范围。（答： ）
11. 常见的图象变换
①设 的图像与 的图像关于直线 对称， 的图像由 的图像向右平移1个单位得到，则 为__________(答： )
②函数 的图象与 轴的交点个数有____个(答：2)
③将函数 的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线 对称,那么
　　(答：C)
④函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 得到的。如若函数 是偶函数，则函数 的对称轴方程是_______(答： )．
12. 函数的对称性。
①已知二次函数 满足条件 且方程 有等根，则 ＝_____(答： )；
②己知函数 ,若 的图像是 ,它关于直线 对称图像是 关于原点对称的图像为 对应的函数解析式是_______（答： ）；
③若函数 与 的图象关于点（-2，3）对称，则 ＝______（答： ）
13. 函数的周期性。
（1）类比“三角函数图像”已知定义在 上的函数 是以2为周期的奇函数，则方程 在 上至少有__________个实数根（答：5）
（2）由周期函数的定义
(1) 设 是 上的奇函数， ，当 时， ，则 等于_____(答： )；(2)已知 是偶函数，且 =993， = 是奇函数，求 的值(答：993)；（3）已知 是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则 ____（答：0）
（2）利用函数的性质
（1）设函数 表示 除以3的余数，则对任意的 ，都有　A、 B、 C、 D、 （答：A）；
（2）设 是定义在实数集R上的函数，且满足 ，如果 ， ，求 （答：1）；（3）已知定义域为 的函数 满足 ，且当 时， 单调递增。如果 ，且 ，则 的值的符号是____（答：负数）
（3）利用一些方法
（1）若 ， 满足 ，则 的奇偶性是______（答：奇函数）；（2）若 ， 满足 ，则 的奇偶性是______（答：偶函数）；（3）已知 是定义在 上的奇函数，当 时， 的图像如右图所示，那么不等式 的解集是_____________（答： ）；


三、数　　列
1、数列的概念：（1）已知 ，则在数列 的最大项为__（答： ）；（2）数列 的通项为 ，其中 均为正数，则 与 的大小关系为___（答： ）；（3）已知数列 中， ，且 是递增数列，求实数 的取值范围（答： ）；
A B C D
2.等差数列的有关概念：
(1)等差数列 中， ， ，则通项 　　　　（答： ）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答： ）
（1）数列 中， ， ，前n项和 ，则 ＝＿， ＝＿（答： ， ）；（2）已知数列 的前n项和 ，求数列 的前 项和 （答： ）.
（4）等差中项
3.等差数列的性质：
（1）等差数列 中， ，则 ＝____（答：27）；（2）在等差数列 中， ，且 ， 是其前 项和，则A、 都小于0， 都大于0　　B、 都小于0， 都大于0　　C、 都小于0， 都大于0　　D、 都小于0， 都大于0　（答：B）
等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（答：225）
（2）在等差数列中，S11＝22，则 ＝______（答：2）；（2）项数为奇数的等差数列 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.
设{ }与{ }是两个等差数列，它们的前 项和分别为 和 ，若 ，那么 ___________（答： ）
（3）等差数列 中， ， ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若 是等差数列，首项 ，
，则使前n项和 成立的最大正整数n是 （答：4006）
4.等比数列的有关概念：
（1）等比数列的判断方法：（1）一个等比数列{ }共有 项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则 为____（答： ）；（2）数列 中， =4 +1 ( )且 =1，若 ，求证：数列｛ ｝是等比数列。
（2）等比数列的通项：设等比数列 中， ， ，前 项和 ＝126，求 和公比 . （答： ， 或2）
（3）等比数列的前 和：（1）等比数列中， ＝2，S99=77，求 （答：44）；（2） 的值为__________（答：2046）；
（4）等比中项：已知两个正数 的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）奇数个数成等比，可设为…， …（公比为 ）；但偶数个数成等比时，不能设为… ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为 。
5.等比数列的性质：
（1）在等比数列 中， ，公比q是整数，则 =___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 （答：10）。
（1）已知 且 ，设数列 满足 ，且 ，则 　　　　　. （答： ）；（2）在等比数列 中， 为其前n项和，若 ，则 的值为______（答：40）
若 是等比数列，且 ，则 ＝ （答：－1）
设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，若 成等差数列，则 的值为¬¬_____（答：－2）
设数列 的前 项和为 （ ）， 关于数列 有下列三个命题：①若 ，则 既是等差数列又是等比数列；②若 ，则 是等差数列；③若 ，则 是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 （答：②③）
6.数列的通项的求法：
已知数列 试写出其一个通项公式：__________（答： ）
①已知 的前 项和满足 ，求 （答： ）；②数列 满足 ，求 （答： ）
数列 中， 对所有的 都有 ，则 ______（答： ）
已知数列 满足 ， ，则 =________（答： ）
已知数列 中， ，前 项和 ，若 ，求 （答： ）
①已知 ，求 （答： ）；②已知 ，求 （答： ）；
①已知 ，求 （答： ）；②已知数列满足 =1， ，求 （答： ）
数列 满足 ，求 （答： ）
7.数列求和的常用方法：
（1）公式法：（1）等比数列 的前 项和Sｎ＝2ｎ－１，则 ＝_____（答： ）；（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，如 表示二进制数，将它转换成十进制形式是 ，那么将二进制 转换成十进制数是_______（答： ）
（2）分组求和法： （答： ）
（3）倒序相加法：①求证： ；②已知 ，则 ＝______（答： ）
（4）错位相减法：（1）设 为等比数列， ，已知 ， ，①求数列 的首项和公比；②求数列 的通项公式.（答：① ， ；② ）；（2）设函数 ，数列 满足：
，①求证：数列 是等比数列；②令
，求函数 在点 处的导数 ，并比较 与 的大小。（答：①略；② ，当 时， ＝ ；当 时， < ；当 时， > ）
（5）裂项相消法：（1）求和： （答： ）；（2）在数列 中， ，且Sｎ＝９，则n＝_____（答：99）；
（6）通项转换法：求和： （答： ）
四、三角函数
1、 的终边与 的终边关于直线 对称，则 ＝_____。（答： ）
若 是第二象限角，则 是第_____象限角（答：一、三）；已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2 ）
2、三角函数的定义：（1）已知角 的终边经过点P(5，－12)，则 的值为＿＿。（答： ）；（2）设 是第三、四象限角， ，则 的取值范围是_______（答：（－1， ）；
3.三角函数线（1）若 ，则 的大小关系为_____(答： )；（2）若 为锐角，则 的大小关系为_______ （答： ）；（3）函数 的定义域是_______（答： ）
4.同角三角函数的基本关系式：（1）已知 ， ，则 ＝____（答： ）；（2）已知 ，则 ＝____； ＝___（答： ； ）；（3）已知 ，则 的值为______（答：－1）。
5.三角函数诱导公式（1） 的值为________（答： ）；（2）已知 ，则 ______，若 为第二象限角，则 ________。（答： ； ）
6、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
（1）下列各式中，值为 的是 A、 　B、 　C、 　　D、 　（答：C）；
（2）命题P： ，命题Q： ，则P是Q的　A、充要条件　B、充分不必要条件　C、必要不充分条件　D、既不充分也不必要条件（答：C）；（3）已知 ，那么 的值为____（答： ）；（4） 的值是______（答：4）；(5)已知 ，求 的值（用a表示）甲求得的结果是 ，乙求得的结果是 ，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______（答：甲、乙都对）
7. 三角函数的化简、计算、证明
（1）巧变角：（1）已知 ， ，那么 的值是_____（答： ）；（2）已知 为锐角， ， ，则 与 的函数关系为______（答： ）
(2)三角函数名互化(切割化弦)，（1）求值 （答：1）；（2）已知 ，求 的值（答： ）
(3)公式变形使用设 中， ， ，则此三角形是____三角形（答：等边）
(4)三角函数次数的降升函数 的单调递增区间为___________（答： ）
(5)式子结构的转化（1） （答： ）；（2）求证： ；（3）化简： （答： ）
(6)常值变换主要指“1”的变换已知 ，求 （答： ）.
(7)“知一求二”（1）若 ，则 __（答： )，特别提醒：这里 ；（2）若 ，求 的值。（答： ）； 8、辅助角公式中辅助角的确定：（1）若方程 有实数解，则 的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；（2）当函数 取得最大值时， 的值是______(答： )；（3）如果 是奇函数，则 = (答：－2)；（4）求值： ________(答：32)
9、正弦函数 、余弦函数 的性质：
（1）若函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 __， ＿（答： 或 ）；（2）函数 （ ）的值域是____（答：[－1, 2]）；（3）若 ，则 的最大值和最小值分别是____ 、_____（答：7；－5）；（4）函数 的最小值是_____，此时 ＝__________（答：2； ）；（5）己知 ，求 的变化范围（答： ）；（6）若 ，求 的最大、最小值（答： ， ）。
（3）周期性： (1)若 ，则 ＝___（答：0）；(2) 函数 的最小正周期为____（答： ）；(3) 设函数 ，若对任意 都有 成立，则 的最小值为____（答：2）
（4）奇偶性与对称性：（1）函数 的奇偶性是______（答：偶函数）；（2）已知函数 为常数），且 ，则 ______（答：－5）；（3）函数 的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________（答： 、 ）；（4）已知 为偶函数，求 的值。（答： ）
（5）单调性：
16、形如 的函数：
， 的图象如图所示，则 ＝_____（答： ）；
（1）函数 的图象经过怎样的变换才能得到 的图象？（答： 向上平移1个单位得 的图象，再向左平移 个单位得 的图象，横坐标扩大到原来的2倍得 的图象，最后将纵坐标缩小到原来的 即得 的图象）；(2) 要得到函数 的图象，只需把函数 的图象向___平移____个单位（答：左； ）；（3）将函数 图像，按向量 平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出 ；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量 ）；（4）若函数 的图象与直线 有且仅有四个不同的交点，则 的取值范围是 （答： ）
（5）研究函数 性质的方法：（1）函数 的递减区间是______（答： ）；（2） 的递减区间是_______（答： ）；（3）设函数
的图象关于直线 对称，它的周期是 ，则A、 　B、 在区间 上是减函数　　C、 　　D、 的最大值是A（答：C）；（4）对于函数 给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线 成轴对称；③图象可由函数 的图像向左平移 个单位得到；④图像向左平移 个单位，即得到函数 的图像。其中正确结论是_______（答：②④）；（5）已知函数 图象与直线 的交点中，距离最近两点间的距离为 ，那么此函数的周期是_______（答： ）
的周期都是 , 但 的周期为 ，而 ， 的周期不变；
中，若 ，判断 的形状（答：直角三角形）。
（1） 中，A、B的对边分别是 ，且 ，那么满足条件的 A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（答：C）；（2）在 中，A＞B是 成立的_____条件（答：充要）；（3）在 中， ，则 ＝_____（答： ）；(4)在 中， 分别是角A、B、C所对的边，若 ，则 ＝____（答： ）；（5）在 中，若其面积 ，则 =____（答： ）；（6）在 中， ，这个三角形的面积为 ，则 外接圆的直径是_______（答： ）；（7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边， = ， 的最大值为 （答： ）；（8）在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是 （答： ）；（9）设O是锐角三角形ABC的外心，若 ，且 的面积满足关系式 ，求 （答： ）．
19.求角的方法（1）若 ，且 、 是方程 的两根，则求 的值______（答： ）；（2） 中， ，则 ＝_______（答： ）；（3）若 且 ， ，求 的值（答： ）.
五、平面向量
1、向量有关概念：
（1）向量的概念：已知A（1,2），B（4,2），则把向量 按向量 ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））
下列命题：（1）若 ，则 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若 ，则 是平行四边形。（4）若 是平行四边形，则 。（5）若 ，则 。（6）若 ，则 。其中正确的是_______（答：（4）（5））
2、向量的表示方法：（1）若 ，则 ______（答： ）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D. （答：B）；（3）已知 分别是 的边 上的中线,且 ,则 可用向量 表示为_____（答： ）；（4）已知 中，点 在 边上，且 ， ，则 的值是___（答：0）
4、实数与向量的积
5、平面向量的数量积：
（1）△ABC中， ， ， ，则 _________（答：－9）；（2）已知 ， 与 的夹角为 ，则 等于____（答：1）；（3）已知 ，则 等于____（答： ）；（4）已知 是两个非零向量，且 ，则 的夹角为____（答： ）
已知 ， ，且 ，则向量 在向量 上的投影为______（答： ）
（1）已知 ， ，如果 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是______（答： 或 且 ）；（2）已知 的面积为 ，且 ，若 ，则 夹角 的取值范围是_________（答： ）；（3）已知 与 之间有关系式 ，①用 表示 ；②求 的最小值，并求此时 与 的夹角 的大小（答：① ；②最小值为 ， ）
6、向量的运算：
（1）几何运算：
（1）化简：① ___；② ____；③ _____（答：① ；② ；③ ）；（2）若正方形 的边长为1， ，则 ＝_____（答： ）；（3）若O是 所在平面内一点，且满足 ，则 的形状为____（答：直角三角形）；（4）若 为 的边 的中点， 所在平面内有一点 ，满足 ，设 ，则 的值为___（答：2）；（5）若点 是 的外心，且 ，则 的内角 为____（答： ）；
（2）坐标运算：（1）已知点 ， ，若 ，则当 ＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上（答： ）；（2）已知 ， ，则 （答： 或 ）；（3）已知作用在点 的三个力 ，则合力 的终点坐标是 （答：（9,1））
设 ，且 ， ，则C、D的坐标分别是__________（答： ）；
已知向量 ＝（sinx，cosx）, ＝（sinx，sinx）, ＝（－1，0）。（1）若x＝ ，求向量 、 的夹角；（2）若x∈ ，函数 的最大值为 ，求 的值（答： 或 ）；
已知 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 ＝_____（答： ）；
如图，在平面斜坐标系 中， ，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若 ，其中 分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为 。（1）若点P的斜坐标为（2，－2），求P到O的距离｜PO｜；（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系 中的方程。（答：（1）2；（2） ）；
7、向量的运算律：下列命题中：① ；② ；③ ；④ 若 ，则 或 ；⑤若 则 ；⑥ ；⑦ ；⑧ ；⑨ 。其中正确的是______（答：①⑥⑨）
(1)若向量 ，当 ＝_____时 与 共线且方向相同（答：2）；（2）已知 ， ， ，且 ，则x＝______（答：4）；（3）设 ，则k＝_____时，A,B,C共线（答：－2或11）
(1)已知 ，若 ，则 （答： ）；（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB， ，则点B的坐标是________ （答：(1,3)或（3，－1））；（3）已知 向量 ，且 ，则 的坐标是________ （答： ）
10.线段的定比分点：
若点 分 所成的比为 ，则 分 所成的比为_______（答： ）
（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且 ，则点P的坐标为_______（答： ）；（2）已知 ，直线 与线段 交于 ，且 ，则 等于_______（答：２或－４）
11.平移公式：（1）按向量 把 平移到 ，则按向量 把点 平移到点______（答：（－８，３））；（2）函数 的图象按向量 平移后，所得函数的解析式是 ，则 ＝________（答： ）
12、向量中一些常用的结论：
若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、　　　（-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______（答： ）；
平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知两点 , ,若点 满足 ,其中 且 ,则点 的轨迹是_______（答：直线AB）
六、不等式 1、不等式的性质：
（1）对于实数 中，给出下列命题：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ； ⑥ ；⑦ ；⑧ ，则 。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；
（2）已知 ， ，则 的取值范围是______（答： ）；
2. 不等式大小比较的常用方法：比较1+ 与 的大小（答：当 或 时，1+ ＞ ；当 时，1+ ＜ ；当 时，1+ ＝ ）
3. 利用重要不等式求函数最值
（1）下列命题中正确的是A、 的最小值是2 B、 的最小值是2 C、 的最大值是 D、 的最小值是 （答：C）；（2）若 ，则 的最小值是______（答： ）；（3）正数 满足 ，则 的最小值为______（答： ）；
4.常用不等式有：如果正数 、 满足 ，则 的取值范围是¬_____（答： ）
5、证明不等式的方法：
（1）已知 ，求证： ；(2) 已知 ，求证： ；（3）已知 ，且 ，求证： ；(4)已知 ，求证： ；
6.简单的一元高次不等式的解法：（1）解不等式 。（答： 或 ）；（2）不等式 的解集是____（答： 或 ）；（3）设函数 、 的定义域都是R，且 的解集为 ， 的解集为 ，则不等式 的解集为____（答： ）；（4）要使满足关于 的不等式 （解集非空）的每一个 的值至少满足不等式 中的一个，则实数 的取值范围是_____.（答： ）
7.分式不等式的解法：（1）解不等式 （答： ）；
（2）关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为____________（答： ）.
8.绝对值不等式的解法：解不等式 （答： ）；若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围为______。（答： ）
9、含参不等式的解法：（1）若 ，则 的取值范围是_____（答： 或 ）；（2）解不等式 （答： 时， ； 时， 或 ； 时， 或 ）；（3）关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为__________（答：（－1,2））
11.恒成立问题（1）设实数 满足 ，当 时， 的取值范围是______（答： ）；（2）不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围_____（答： ）；（3）若不等式 对满足 的所有 都成立，则 的取值范围_____（答：（ , ））；（4）若不等式 对于任意正整数 恒成立，则实数 的取值范围是_____（答： ）；（5）若不等式 对 的所有实数 都成立，求 的取值范围.（答： ）（6）已知不等式 在实数集 上的解集不是空集，求实数 的取值范围______（答： ）

七、直线和圆
1、直线的倾斜角：（1）直线 的倾斜角的范围是____（答： ）；（2）过点 的直线的倾斜角的范围 值的范围是______（答： ）
2、直线的斜率： (1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数 满足 ( )，则 的最大值、最小值分别为______（答： ）
3、直线的方程：（1）经过点（2，1）且方向向量为 =(－1, )的直线的点斜式方程是___________（答： ）；（2）直线 ，不管 怎样变化恒过点______（答： ）；（3）若曲线 与 有两个公共点，则 的取值范围是_______（答： ）
过点 ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3）
4.设直线方程的一些常用技巧：
5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：
6、直线 与直线 的位置关系：
（1）设直线 和 ，当 ＝_______时 ∥ ；当 ＝________时 ；当 _________时 与 相交；当 ＝_________时 与 重合（答：－1； ； ；3）；（2）已知直线 的方程为 ，则与 平行，且过点（—1，3）的直线方程是______（答： ）；（3）两条直线 与 相交于第一象限，则实数 的取值范围是____（答： ）；（4）设 分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线 与 的位置关系是____（答：垂直）；（5）已知点 是直线 上一点， 是直线 外一点，则方程 ＝0所表示的直线与 的关系是____（答：平行）；（6）直线 过点（１，０），且被两平行直线 和 所截得的线段长为9，则直线 的方程是________（答： ）
7、到角和夹角公式：已知点M是直线 与 轴的交点，把直线 绕点M逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是______（答： ）
8、对称（1）已知点 与点 关于 轴对称，点P与点N关于 轴对称，点Q与点P关于直线 对称，则点Q的坐标为_______（答： ）；（2）已知直线 与 的夹角平分线为 ，若 的方程为 ，那么 的方程是___________（答： ）；（3）点Ａ（４，５）关于直线 的对称点为Ｂ(－2,7)，则 的方程是_________（答： ）；（4）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线 :3x－4y+4=0反射。如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________（答： ）；（5）已知ΔABC顶点A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0，∠B的平分线所在的方程为x－4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程（答： ）；（6）直线2x―y―4=0上有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标是______（答：（5,6））；（7）已知 轴， ，C（2，1）， 周长的最小值为______（答： ）。
9、简单的线性规划：
已知点A（—2，4），B（4，2），且直线 与线段AB恒相交，则 的取值范围是__________（答： ）
（1）线性目标函数z=2x－y在线性约束条件 下，取最小值的最优解是____（答：（－1，1））；（2）点（－２， ）在直线2x－3y+6=0的上方，则 的取值范围是_________（答： ）；（3）不等式 表示的平面区域的面积是_________（答：8）；（4）如果实数 满足 ，则 的最大值_________（答：21）
10、圆的方程：
（1）圆C与圆 关于直线 对称，则圆C的方程为____________（答： ）；（2）圆心在直线 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________（答： 或 ）；（3）已知 是圆 （ 为参数， 上的点，则圆的普通方程为________，P点对应的 值为_______，过P点的圆的切线方程是___________（答： ； ； ）；（4）如果直线 将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么 的斜率的取值范围是____（答：[0，2]）；（5）方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____（答： ）；（6）若 （ 为参数， ， ，若 ，则b的取值范围是_________（答： ）
11、点P(5a+1,12a)在圆(x－１)２＋y2=1的内部,则a的取值范围是______（答： ）
12、直线与圆的位置关系：（1）圆 与直线 ， 的位置关系为____（答：相离）；（2）若直线 与圆 切于点 ，则 的值____（答：2）；（3）直线 被曲线 所截得的弦长等于 （答： ）；（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 （答：4）；（5）已知 是圆 内一点，现有以 为中点的弦所在直线 和直线 ，则A． ，且 与圆相交 　 B． ，且 与圆相交　　C． ，且 与圆相离 D． ，且 与圆相离（答：C）；（6）已知圆C： ，直线L： 。①求证：对 ，直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B两点，若 ，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. （答：② 或 　　③最长： ，最短： ）
13、圆与圆的位置关系
双曲线 的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为 （答：内切）
14、圆的切线与弦长：
设A为圆 上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为__________（答： ）；
（2）弦长问题：
八、圆锥曲线
1.圆锥曲线的两个定义：
（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：（1）已知定点 ，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A． B． C． D． （答：C）；（2）方程 表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）
（2）第二定义已知点 及抛物线 上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）
2.圆锥曲线的标准方程
（1）椭圆：（1）已知方程 表示椭圆，则 的取值范围为____（答： ）；（2）若 ，且 ，则 的最大值是____， 的最小值是___（答： ）
（2）双曲线：（1）双曲线的离心率等于 ，且与椭圆 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答： ）；（2）设中心在坐标原点 ，焦点 、 在坐标轴上，离心率 的双曲线C过点 ，则C的方程为_______（答： ）
（3）抛物线：
3.圆锥曲线焦点位置的判断：
椭圆：已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答： ）
4.圆锥曲线的几何性质：
（1）椭圆（1）若椭圆 的离心率 ，则 的值是__（答：3或 ）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答： ）
（2）双曲线（1）双曲线的渐近线方程是 ，则该双曲线的离心率等于______（答： 或 ）；（2）双曲线 的离心率为 ，则 = （答：4或 ）；（3）设双曲线 （a>0,b>0）中，离心率e∈[ ,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（答： ）；
（3）抛物线；设 ，则抛物线 的焦点坐标为________（答： ）；
5、点 和椭圆 （ ）的关系：
6．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______（答：(- ,-1)）；（2）直线y―kx―1=0与椭圆 恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；（3）过双曲线 的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）；
（2）过双曲线 ＝1外一点 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；
（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。（1）过点 作直线与抛物线 只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；（2）过点(0,2)与双曲线 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______（答： ）；（3）过双曲线 的右焦点作直线 交双曲线于A、B两点，若 4，则满足条件的直线 有____条（答：3）；（4）对于抛物线C： ，我们称满足 的点 在抛物线的内部，若点 在抛物线的内部，则直线 ： 与抛物线C的位置关系是_______（答：相离）；（5）过抛物线 的焦点 作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是 、 ，则 _______（答：1）；（6）设双曲线 的右焦点为 ，右准线为 ，设某直线 交其左支、右支和右准线分别于 ，则 和 的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （答：等于）；（7）求椭圆 上的点到直线 的最短距离（答： ）；（8）直线 与双曲线 交于 、 两点。①当 为何值时， 、 分别在双曲线的两支上？②当 为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：① ；② ）；
7、焦半径（1）已知椭圆 上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答： ）；（2）已知抛物线方程为 ，若抛物线上一点到 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；（3）若该抛物线上的点 到焦点的距离是4，则点 的坐标为_____（答： ）；（4）点P在椭圆 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_______（答： ）；（5）抛物线 上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到 轴的距离为______（答：2）；（6）椭圆 内有一点 ，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使 之值最小，则点M的坐标为_______（答： ）；
8、焦点三角形（1）短轴长为 ，离心率 的椭圆的两焦点为 、 ，过 作直线交椭圆于A、B两点，则 的周长为________（答：6）；（2）设P是等轴双曲线 右支上一点，F1、F2是左右焦点，若 ，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 （答： ）；（3）椭圆 的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当PF2→ •PF1→ <0时，点P的横坐标的取值范围是 （答： ）；（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝ ，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且 是 与 等差中项，则 ＝__________（答： ）；（5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且 ， ．求该双曲线的标准方程（答： ）；
9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10、弦长公式：（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）；（2）过抛物线 焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：3）；
11、圆锥曲线的中点弦问题：（1）如果椭圆 弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答： ）；（2）已知直线y=－x+1与椭圆 相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答： ）；（3）试确定m的取值范围，使得椭圆 上有不同的两点关于直线 对称（答： ）；
特别提醒：因为 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 ！
12．你了解下列结论吗？
与双曲线 有共同的渐近线，且过点 的双曲线方程为_______（答： ）
13．动点轨迹方程：
已知动点P到定点F(1,0)和直线 的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答： 或 ）；
线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0） ，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答： ）；　
(1)由动点P向圆 作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为 （答： ）；（2）点M与点F(4,0)的距离比它到直线 的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答： ）；(3) 一动圆与两圆⊙M： 和⊙N： 都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；
动点P是抛物线 上任一点，定点为 ,点M分 所成的比为2，则M的轨迹方程为__________（答： ）；
（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点 ，使 ，求点 的轨迹。（答： ）；（2）若点 在圆 上运动，则点 的轨迹方程是____（答： ）；（3）过抛物线 的焦点F作直线 交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________（答： ）；
已知椭圆 的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足 点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 （1）设 为点P的横坐标，证明 ；（2）求点T的轨迹C的方程；（3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S= 若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由. （答：（1）略；（2） ；（3）当 时不存在；当 时存在，此时∠F1MF2＝2）
九、直线、平面、简单多面体
1、三个公理和三条推论：
（1）在空间四点中，三点共线是四点共面的_____条件（答：充分非必要）；（2）给出命题：①若A∈l，A∈α，B∈l ，B∈α，则 l α；②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；③若l α　，A∈l，则A α　④若A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共线，则α与β重合。上述命题中，真命题是_____（答：①②④）；（3）长方体中ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，BC=6，在线段BD，A1C1上各有一点P、Q，在PQ上有一点M，且PM=MQ，则M点的轨迹图形的面积为_______（答：24）
2、直观图的画法（斜二侧画法规则）：（1）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（　　）（答：A） （2）已知正 的边长为 ，那么 的平面直观图 的面积为_____（答： ）
3、空间直线的位置关系：（1）空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的中点，则直线EG和FH的位置关系_____（答：相交）；（2）给出下列四个命题：①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；②两异面直线 ，如果 平行于平面 ，那么 不平行平面 ；③两异面直线 ，如果 平面 ，那么 不垂直于平面 ；④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 。其中正确的命题是_____（答：①③）
4、异面直线的判定：（1）“ａ、ｂ为异面直线”是指：①ａ∩ｂ＝Φ，但ａ不平行于ｂ；②ａ 面α，ｂ 面β且a∩b＝Φ；③ａ 面α，ｂ 面β且α∩β＝Φ；④ａ 面α，b 面α　；⑤不存在平面α，能使ａ 面α且ｂ 面α成立。上述结论中，正确的是_____（答：①⑤）；（2）在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，设BC+AD=2a，则MN与a的大小关系是_____（答：MN5、异面直线所成角 的求法：（1）正四棱锥 的所有棱长相等， 是 的中点，那么异面直线 与 所成的角的余弦值等于____（答： ）；（2）在正方体AC1中，M是侧棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一点，则OP与AM所成的角的大小为____（答：90°）；（3）已知异面直线a、b所成的角为50°，P为空间一点，则过P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有____条（答：2）；（4）若异面直线 所成的角为 ，且直线 ，则异面直线 所成角的范围是____（答： ）；
6、异面直线的距离的概念：（1）ABCD是矩形，沿对角线AC把ΔADC折起，使AD⊥BC，求证：BD是异面直线AD与BC的公垂线；（2）如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF是异面直线AC与A1D的公垂线，则由正方体的八个顶点所连接的直线中，与EF平行的直线有____条（答：1）；
7直线与平面的位置关系：（1）下列命题中，正确的是 Ａ、若直线 平行于平面 内的一条直线b , 则 // 　Ｂ、若直线 垂直于平面 的斜线b在平面 内的射影，则 ⊥b　　Ｃ、若直线 垂直于平面 ,直线b是平面 的斜线，则 与b是异面直线　　Ｄ、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥（答：D）；（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是___________（答：线段B1C）。
10、直线与平面平行的判定和性质：
（1）α、β表示平面，a、b表示直线，则a∥α的一个充分不必要条件是　A、α⊥β，a⊥β　　　　　　B、α∩β＝b，且a∥b　C、a∥b且b∥α　D、α∥β且a β（答：D）；（2）正方体ABCD-A１B１C１D１中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM=DN，求证：MN∥面AA1B1B。
11、直线和平面垂直的判定和性质：（1）如果命题“若 ∥z，则 ”不成立，那么字母x、y、z在空间所表示的几何图形一定是_____（答：x、y是直线，z是平面）；（2）已知a，b，c是直线，α、β是平面，下列条件中能得出直线a⊥平面α的是　 A、a⊥b，ａ⊥ｃ其中ｂ α，ｃ α　　B、a⊥b ，ｂ∥α　C、α⊥β，ａ∥β　 D、ａ∥ｂ，ｂ⊥α（答：D）；（3）AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD⊥面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F，求证：BD⊥平面AEF。