文科数学知识要点

2010高考数学复习知识清单——向量
知识清单
一、向量的有关概念
1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).
2.向量的表示方法:
⑴字母表示法:如 等.
⑵几何表示法:用一条有向线段表示向量.如 , 等.
⑶坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量 的起点O为在坐标原点,终点A坐标为 ,则 称为 的坐标,记为 = .
注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.
3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量 与 相等,记为 .
注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.
4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.
5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.
6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定: 与任一向量共线.
注:共线向量又称为平行向量.
7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量.
二、向量的运算
(一)运算定义
①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,这些运算的定义都是 “自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.
其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.
刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：
运 算 图形语言 符号语言 坐标语言
加法与减法
+ =
=
记 =(x1,y1), =(x1,y2)
则 =(x1+x2,y1+y2)
=（x2-x1,y2-y1）


+ =

实数与向量的乘积
=λ
λ∈R 记 =(x,y)
则λ =(λx,λy)

两个向量的数量积

记
则 • =x1x2+y1y2

(二)运算律
加法：① (交换律); ② (结合律)
实数与向量的乘积：① ; ② ;③
两个向量的数量积: ① • = • ; ②(λ )• = •(λ )=λ( • );③( + )• = • + •
注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，
例如( ± )2=
(三)运算性质及重要结论
⑴平面向量基本定理:如果 是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量 ,有且只有一对实数 ,使 ，称 为 的线性组合。
①其中 叫做表示这一平面内所有向量的基底;
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量 的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.
这说明如果 且 ,那么 .
③当基底 是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.
向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，
即若A(x，y)，则 =（x,y）；当向量起点不在原点时，向量 坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则 =(x2-x1,y2-y1)
⑵两个向量平行的充要条件
符号语言：
坐标语言为：设非零向量 ,则 ∥ (x1,y1)=λ(x2,y2)，
即 ,或x1y2-x2y1=0, 在这里,实数λ是唯一存在的,当 与 同向时,λ>0；当 与 异向时,λ<0。|λ|= ,λ的大小由 及 的大小确定。因此,当 , 确定时，λ的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中λ的几何意义。
⑶两个向量垂直的充要条件
符号语言：
坐标语言：设非零向量 ，则
⑷两个向量数量积的重要性质：
① 即 (求线段的长度);
② (垂直的判断);
③ (求角度)。
以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.
注:①两向量 , 的数量积运算结果是一个数 (其中 ),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关.
② 叫做向量 在 方向上的投影（如图）.
数量积的几何意义是数量积 等于 的模与 在 方向上的投影的积.
③如果 , ,则 = ,
∴ ,这就是平面内两点间的距离公式.

这样学习真的是很好